La loi des grands nombres dans les systèmes de jeu modernes

Auteur : Zavian Thornell

Introduction : les mathématiques derrière le gameplay

Dans l’industrie moderne du jeu vidéo, évaluée à des centaines de milliards de dollars, derrière chaque lancer de dés virtuels, ouverture de loot box ou tirage de bannière gacha se trouve une régularité mathématique stricte connue sous le nom de loi des grands nombres. Ce principe fondamental de la théorie des probabilités, formulé par le mathématicien suisse Jacob Bernoulli en 1713, détermine le fonctionnement de pratiquement toutes les mécaniques de jeu modernes basées sur le hasard.

La loi des grands nombres (LGN) affirme une idée simple mais puissante : avec un grand nombre d’essais indépendants, le résultat moyen se rapprochera de plus en plus de l’espérance mathématique. En d’autres termes, plus nous lançons une pièce de monnaie, plus le rapport entre pile et face se rapprochera du 50/50 théorique Wikipedia.

Racines historiques : des jeux de hasard aux jeux vidéo

Le lien entre la théorie des probabilités et les jeux remonte au XVIIe siècle, lorsque les mathématiciens français Blaise Pascal et Pierre de Fermat ont commencé à étudier les problèmes des jeux de hasard à la demande de leur connaissance — le joueur passionné Antoine Gombaud. Comme le note l’analyse historique sur Habr, les premiers jeux de hasard commerciaux de masse sont apparus pratiquement en même temps que la formalisation des fondements de la théorie des probabilités.

Le théorème de Bernoulli a produit l’effet d’une « bombe à retardement » dans l’industrie des jeux de hasard. Il a prouvé mathématiquement que même avec un avantage minimal de la « maison » (casino), l’établissement obtiendrait un profit garanti à long terme. Ce concept est devenu la base de l’économie du jeu moderne.

Générateurs de nombres aléatoires : le cœur des systèmes de jeu

Nombres pseudo-aléatoires (PRNG)

La plupart des jeux modernes reposent sur des générateurs de nombres pseudo-aléatoires (PRNG — Pseudo-Random Number Generators). Comme l’explique Medium, un PRNG utilise des algorithmes mathématiques pour générer une séquence de nombres qui semble aléatoire, mais qui est en réalité déterminée par une valeur initiale — la « graine » (seed).

Caractéristiques clés des PRNG :

• Déterminisme : la même graine produit toujours la même séquence
• Vitesse : les PRNG fonctionnent extrêmement rapidement, générant des milliers de nombres par seconde
• Prévisibilité avec une graine connue : ce qui les rend vulnérables à l’exploitation

La plupart des machines à sous utilisent précisément des PRNG plutôt que de véritables générateurs de nombres aléatoires (TRNG), bien que certains environnements de jeu hautement sécurisés utilisent des TRNG pour les opérations critiques.

Application dans les jeux

Chaque fois qu’un joueur appuie sur le bouton « tourner » dans une machine à sous ou ouvre une loot box, le système génère un nombre aléatoire. Ce nombre correspond à une combinaison spécifique de symboles ou de récompenses. Selon une étude de Gamixlabs, le RNG génère constamment des nombres aléatoires — souvent des milliers de fois par seconde, même lorsque personne ne joue.

La loi des grands nombres en action : le cas des casinos en ligne

Prenons l’exemple pratique de la roulette. Dans la version américaine, il y a 36 numéros (18 rouges et 18 noirs), plus deux secteurs verts de la « maison » — 0 et 00. Cela donne au casino un petit avantage mathématique.

Imaginons 10 joueurs, chacun avec 100 $. La moitié mise 10 $ sur le rouge, l’autre moitié sur le noir. Si la roue suit strictement l’espérance mathématique :

• Dans 18 tours sur 19, le casino sera à l’équilibre
• Au 19e tour, la bille s’arrêtera sur un secteur vert et le casino prendra toutes les mises
• Après 100 tours, le casino gagnera la moitié de l’argent des joueurs
• Après 200 tours, le casino gagnera tout

Comme le notait le mathématicien Abraham de Moivre, qui a popularisé l’application de la loi des grands nombres aux jeux de hasard : « cela semblerait presque incroyable, compte tenu de l’insignifiance des chances » Habr.

Dans le contexte des casinos en ligne, cela signifie que sur un grand échantillon de parties, les résultats réels correspondront de plus en plus précisément aux probabilités théoriques. Par exemple, à la roulette, la probabilité que le rouge sorte est d’environ 47,37% (18/38). Après des milliers de tours, la fréquence réelle tendra vers cette valeur précise.

Systèmes gacha et loot boxes : incarnation moderne de la loi

Mécaniques des jeux gacha

Le gacha (du japonais « gachapon » — distributeurs automatiques de jouets en capsules) est une mécanique de jeu où les joueurs dépensent une monnaie virtuelle ou réelle pour obtenir des récompenses aléatoires d’un pool prédéterminé. Selon une discussion Reddit, dans les jeux gacha modernes, la probabilité pure basée sur le RNG est rarement utilisée — les développeurs emploient des systèmes plus complexes.

Système de pitié (Pity System)

L’une des innovations clés qui adoucit la « cruauté » de la loi des grands nombres pour les joueurs est le système de pitié (pity system). Il garantit l’obtention d’une récompense rare après un certain nombre de tentatives infructueuses.

Par exemple, dans le jeu populaire Genshin Impact :

• La probabilité de base d’obtenir un personnage 5 étoiles n’est que de 0,6%
• La pitié dure (hard pity) se déclenche à la 90e tentative, garantissant un personnage 5 étoiles
• La pitié douce (soft pity) commence à la 74e tentative, augmentant considérablement la probabilité à chaque tentative suivante (environ 6% à chaque fois)
• Le système 50/50 donne 50% de chances d’obtenir précisément le personnage présenté sur la bannière

Comme le note le guide LootCalc, la pitié douce est une mécanique non documentée par laquelle la probabilité d’une récompense 5 étoiles augmente fortement à partir d’un certain seuil.

Calculs probabilistes

La formule pour calculer la probabilité d’obtenir au moins un succès en n tentatives :

P(au moins 1 succès) = 1 – (1 – p)^n

Où :

• p — probabilité de succès en une tentative
• n — nombre de tentatives

Pour un gacha avec une probabilité de 2% (p = 0,02) :

• Après 34 tentatives, la probabilité d’obtenir l’objet désiré atteint environ 50%
• Après 90 tentatives — environ 83,5%

Cela explique pourquoi les systèmes de pitié sont généralement fixés à 80-90 tentatives — à ce moment-là, la plupart des joueurs auraient déjà dû recevoir la récompense naturellement selon la loi des grands nombres.

Paradoxes et erreurs des joueurs

L’erreur du joueur (Gambler’s Fallacy)

L’une des idées fausses les plus répandues est la croyance qu’après une série d’échecs, un succès « doit » se produire. En réalité, si chaque tentative est indépendante (comme dans une roulette honnête sans système de pitié), la probabilité de succès reste constante pour chaque tentative individuelle.

Si une pièce tombe sur face 10 fois de suite, la probabilité qu’elle tombe sur face à la 11e fois reste de 50%, et non pas moins, comme beaucoup le pensent intuitivement.

La loi des très grands nombres

Il existe également la loi des très grands nombres, qui stipule : même un événement avec une probabilité infime devient presque inévitable si on lui donne suffisamment d’opportunités. Cela explique pourquoi dans les jeux avec des millions de joueurs, des événements « incroyables » se produisent régulièrement — simplement parce que le nombre de tentatives est énorme.

Transparence et réglementation

Divulgation des probabilités

Ces dernières années, l’industrie du jeu a été confrontée à un renforcement de la réglementation. De nombreuses juridictions exigent désormais des développeurs qu’ils divulguent les probabilités exactes d’obtenir des récompenses dans les loot boxes et les systèmes gacha :

• La Chine exige depuis 2017 la publication des chances de tirage
• Le Japon réglemente les mécaniques gacha par des normes sectorielles
• L’Union européenne considère les loot boxes comme une forme de jeu de hasard
• Les États-Unis (certains États) introduisent des restrictions d’âge et des exigences de divulgation

Vérification sans divulgation de code

Une étude de ACSAC 2024 a présenté un protocole de vérification des probabilités des loot boxes qui permet aux joueurs de vérifier les probabilités annoncées sans avoir besoin de divulguer le code source du jeu — une étape importante vers l’augmentation de la confiance dans l’industrie.

Impact sur le game design

Équilibre entre hasard et compétence

La loi des grands nombres crée un dilemme intéressant pour les développeurs. D’une part, le hasard ajoute de l’imprévisibilité et de l’excitation. D’autre part, trop de hasard peut repousser les joueurs compétitifs.

Comme le note l’article classique Game Balance Concepts, l’un des moyens de minimiser l’impact négatif du RNG est de réduire le nombre d’événements aléatoires dans le jeu. Ainsi, l’action de la loi des grands nombres est affaiblie et les hasards n’ont pas le temps de « s’équilibrer ».

Types de hasard

On distingue deux types de hasard dans les jeux :

1. Hasard d’entrée (input randomness) — lorsque l’état du jeu est aléatoire mais connu avant de prendre une décision (par exemple, la distribution de cartes). Généralement perçu positivement car le joueur peut adapter sa stratégie.
2. Hasard de sortie (output randomness) — lorsque le résultat de l’action du joueur est aléatoire (par exemple, la chance de coup critique). Peut causer de la frustration, en particulier dans les jeux compétitifs.

Selon Critical Hit, dans le gaming compétitif moderne, on observe une tendance à minimiser le hasard de sortie en faveur de mécaniques plus prévisibles.

Conséquences économiques

Monétisation par le hasard

La loi des grands nombres assure un revenu prévisible pour les développeurs utilisant des systèmes gacha et des loot boxes. Même si des joueurs individuels peuvent être « chanceux » ou « malchanceux », sur un grand échantillon de joueurs, le revenu tend vers la valeur calculée mathématiquement.

Par exemple, si une loot box coûte 2 $ et que la valeur moyenne du contenu pour le joueur est de 1,50 $, alors pour chaque 1000 loot boxes vendues, le développeur obtiendra environ 500 $ de profit « net » (en supposant que la valeur soit mesurée en coûts d’acquisition du même contenu par d’autres moyens).

Critique et questions éthiques

L’application de la loi des grands nombres à la monétisation des jeux soulève de sérieuses questions éthiques :

• Exploitation des biais cognitifs : les développeurs utilisent consciemment les vulnérabilités psychologiques des joueurs
• Impact disproportionné sur les groupes vulnérables : les personnes sujettes aux dépendances dépensent de manière disproportionnée plus
• Frontière floue entre jeux et jeux de hasard : particulièrement critique pour les mineurs

Une étude sur PSU note que de nombreux joueurs ne comprennent pas intuitivement ce que signifie « 1% de chance de tirage » — un problème cognitif exploité par des développeurs peu scrupuleux.

L’avenir : du hasard pur aux systèmes hybrides

L’industrie moderne du jeu vidéo évolue vers des systèmes plus complexes qui combinent le hasard pur avec des éléments de garanties :

1. Systèmes de pitié progressive : la probabilité augmente à chaque tentative infructueuse
2. Récompenses déterministes : certains objets tombent garantis à l’atteinte de seuils
3. Choix du joueur : systèmes permettant au joueur d’influencer le résultat (par exemple, choisir entre plusieurs récompenses aléatoires)
4. Jetons d’échange : possibilité d’échanger des duplicatas ou des objets indésirables contre ceux désirés

Ces innovations reconnaissent que bien que la loi des grands nombres garantisse l’équité en moyenne et à long terme, l’expérience individuelle du joueur peut s’écarter considérablement de la moyenne. Le game design moderne cherche à minimiser les conséquences négatives de ces écarts.

Conclusion

La loi des grands nombres reste un principe fondamental qui détermine le fonctionnement du hasard dans les jeux modernes — des applications mobiles casual aux projets e-sports valant plusieurs millions. La compréhension de cette loi est essentielle pour :

• Les joueurs — pour prendre des décisions éclairées sur les dépenses et ne pas devenir victimes de biais cognitifs
• Les développeurs — pour créer des systèmes équilibrés qui sont à la fois rentables et équitables
• Les régulateurs — pour protéger les consommateurs, en particulier les groupes vulnérables, de l’exploitation

À mesure que la technologie et la compréhension de la psychologie humaine évoluent, l’industrie du jeu continue de chercher un équilibre entre l’excitation du hasard et l’équité des résultats prévisibles. La loi des grands nombres, découverte il y a plus de 300 ans, reste la clé pour comprendre cet équilibre.

Sources:

1. Wikipédia – Loi des grands nombres : https://ru.wikipedia.org/wiki/Закон_больших_чисел
2. Habr – Le théorème de Bernoulli comme catalyseur de la ludopathie : https://habr.com/ru/companies/first/articles/875604/
3. Reddit – Comment les jeux gacha randomisent les tirages : https://www.reddit.com/r/gachagaming/comments/1004umf/curious_to_know_how_gacha_games_randomize_pulls/
4. Medium – Génération de nombres aléatoires dans les jeux vidéo : https://medium.com/@naomijoyce/random-number-generation-in-video-games-dda985c5652f
5. LootCalc – Guide du système de pitié de Genshin Impact : https://lootcalc.com/guides/genshin-wish-pity-guide
6. PSU – Comment les jeux vidéo empruntent les mécaniques de casino : https://www.psu.com/news/how-video-games-borrow-casino-mechanics-loot-boxes-rng-and-the-question-of-responsibility/
7. Game Balance Concepts – Niveau 5 : Probabilité et hasard : https://gamebalanceconcepts.wordpress.com/2010/08/04/level-5-probability-and-randomness-gone-horribly-wrong/
8. Critical Hit – Les mécaniques RNG sont-elles toujours utiles dans le jeu compétitif : https://www.criticalhit.net/gaming/are-rng-mechanics-still-useful-in-competitive-gaming/
9. ACSAC 2024 – Vérification de la probabilité des loot boxes sans divulgation du code source : https://www.csie.ntu.edu.tw/~hchsiao/pub/2024_ACSAC_lootbox.pdf
10. Wikipedia – Loi des grands nombres (Anglais) : https://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_large_numbers